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数学的理解 一般性原理 18 连续性的本质和连续性公理

当希帕索斯把正方形边长和斜边之间没有公度量的发现报告给自己的老师时，可是把人吓得够呛。那些权威们认为这严重动摇了他们的信仰。为了保守这个秘密，居然弄死了希帕索斯。

然而，和古希腊人最初以为的相反，无理数的发现，不是摧毁他们的信仰，反而恰恰是夯实了“万物皆数”的逻辑基础。

万物皆数，就是数形结合的思想。数与形的结合，是通过一个公理，把实数集的逻辑完备性，完完全全地嫁接到直线上，从而保证了几何的逻辑完备性。

这个公理说，实数与直线（数轴）上的点是一一对应的。有理数集对应直线上的有理点集，无理数集对应直线上的无理点集。几何的逻辑完备性就是这样子建立起来的。这个公理，就是把实数和直线结合起来，因此应该叫做“数形结合公理”；公理的目的，是使得直线具备逻辑完备性，因此也可以叫做“直线的逻辑完备性公理”。逻辑完备的直线，表象上是连续的，没有断点，因此最终，数学家们把这个公理叫做“连续性公理”。个人观点以为“基于表象”起名是最差经的，但数学家们就这样叫了，我们也只好跟着这样子叫了。但是，要记住的是，连续的本质是赋予直线以逻辑完备性。反过来，我们把实数的逻辑完备性，也叫做实数的连续性。

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这样，几何体系的逻辑完备性也建立起来了。

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